Examen resuelto de la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU Andalucía 2026

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN
ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS
CURSO 2025-2026

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Ejercicio 1

Elija solo uno de los apartados A) o B).

A)

En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1800 €. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1000 €. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1560 €.

a) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.

b) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.

B)

Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 m² de tablero DM se consumen 10 m³ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10 €. Para producir 1 m² de tablero aglomerado se consumen 30 m³ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20 €.

La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 m² de tableros DM y 18 m² de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 m² diarios y dispone de 600 m³ de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Ejercicio 2

Se considera la función:

f(x) =	x2 / 20	si 0 ≤ x < 20
	a + bx	si 20 ≤ x < 50
	36 − x2 / 100	si 50 ≤ x ≤ 60

siendo a y b números reales.

a) Determine los valores de a y b para que la función f sea continua en todo su dominio.

b) Para a = 26 y b = −3/10:

i) Calcule los extremos relativos de f.
ii) Represente gráficamente f.
iii) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje OX y la gráfica de la función f.

Ejercicio 3

Elija solo uno de los apartados A) o B).

A)

a) Dada la población {-5, -2, 13, 18, 20}, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral.

b) Dados dos sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que:

P(A) = 0,75; P(B^c) = 0,8; P(A/B) = 0,6.

Calcule las siguientes probabilidades:

P(A ∩ B), P(B − A), P(A ∪ B), P(A^c − B).

B)

Sean A y B dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que P(A) es el doble de P(B), P(B^c/A) = 0,75 y P(A ∩ B) = 0,2.

a) Calcule la probabilidad de que ocurra B.

b) Calcule la probabilidad de que no ocurra ni A ni B. ¿Son los sucesos A^c y B^c incompatibles?

c) Si el experimento se realiza 1350 veces de forma independiente:

i) Determine la distribución de la variable aleatoria X: “Número de veces que ocurre B”.
ii) Calcule la probabilidad de que B ocurra a lo sumo 580 veces, pero más de 499 veces.

Ejercicio 4

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza 225 km² y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de 325 km recorridos por viaje.

a) Calcule un intervalo de confianza al 97 % para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa.

b) A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio 310 km por viaje que realizan.

c) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del 99 % que tuviera una amplitud inferior a 4 km?

Solución propuesta del examen

Ejercicio 1

Apartado A

Definimos las incógnitas:

E = precio de una entrada Estándar
P = precio de una entrada Premium
V = precio de una entrada VIP

A partir del enunciado obtenemos el siguiente sistema:

20E + 5P + 20V = 1800
10E + 5P + 10V = 1000
4E + 20P + 12V = 1560

En la sesión de clausura hay 12 entradas VIP y 4 Estándar. El número de Premium supera en 4 al resto, por tanto:

12 + 4 = 16

16 + 4 = 20 entradas Premium.

Resolviendo el sistema:

E = 25, P = 40, V = 55

Por tanto:

Tipo de entrada	Precio
Estándar	25 €
Premium	40 €
VIP	55 €

La recaudación total fue:

1800 + 1000 + 1560 = 4360 €

b) Mayor recaudación por tipo de entrada

Calculamos cuántas entradas se vendieron de cada tipo:

Premium: 5 + 5 + 20 = 30 entradas

30 · 40 = 1200 €

Estándar: 20 + 10 + 4 = 34 entradas

34 · 25 = 850 €

VIP: 20 + 10 + 12 = 42 entradas

42 · 55 = 2310 €

La mayor recaudación se obtuvo con las entradas VIP, por un importe de 2310 €.

Apartado B

Sea:

x = metros cuadrados diarios de tablero DM
y = metros cuadrados diarios de tablero aglomerado

Función objetivo:

B(x,y) = 10x + 20y

Restricciones:

x ≤ 12
y ≤ 18
x + y ≤ 26
10x + 30y ≤ 600
x ≥ 0
y ≥ 0

Simplificamos la restricción de madera:

10x + 30y ≤ 600 → x + 3y ≤ 60

Los vértices relevantes de la región factible son:

Vértice	Beneficio B(x,y) = 10x + 20y
(0,0)	0
(12,0)	120
(0,18)	360
(6,18)	420
(9,17)	430
(12,14)	400

El beneficio máximo se alcanza en el punto (9,17).

Por tanto, deben producirse diariamente:

9 m² de tablero DM
17 m² de tablero aglomerado

Beneficio máximo:

10 · 9 + 20 · 17 = 90 + 340 = 430 €

Ejercicio 2

a) Continuidad

La función solo puede presentar discontinuidades en los puntos de cambio de tramo: x = 20 y x = 50.

En x = 20:

20² / 20 = 400 / 20 = 20

Para que haya continuidad:

a + 20b = 20

En x = 50:

36 − 50² / 100 = 36 − 2500 / 100 = 36 − 25 = 11

Para que haya continuidad:

a + 50b = 11

Resolvemos el sistema:

a + 20b = 20
a + 50b = 11

Restando ambas ecuaciones:

30b = -9

b = -9 / 30 = -3 / 10

Sustituyendo:

a + 20 · (-3/10) = 20

a – 6 = 20

a = 26

Resultado:

a = 26
b = -3/10

b) Para a = 26 y b = -3/10

La función queda:

f(x) =	x2 / 20	si 0 ≤ x < 20
	26 − 3x / 10	si 20 ≤ x < 50
	36 − x2 / 100	si 50 ≤ x ≤ 60

i) Extremos relativos

Primer tramo:

f(x) = x² / 20

f'(x) = x / 10

En el intervalo 0 < x < 20, la derivada es positiva. Por tanto, la función es creciente.

Segundo tramo:

f(x) = 26 − 3x / 10

f'(x) = -3 / 10

La función es decreciente.

Tercer tramo:

f(x) = 36 − x² / 100

f'(x) = -x / 50

En el intervalo 50 < x < 60, la derivada es negativa. Por tanto, la función sigue decreciendo.

La función crece hasta x = 20 y después decrece. Por tanto, hay un máximo relativo en:

x = 20

f(20) = 20

Máximo relativo: (20, 20)

Además, en el intervalo cerrado se alcanzan mínimos absolutos en:

f(0) = 0

f(60) = 36 − 60² / 100 = 36 − 36 = 0

Mínimos absolutos: (0,0) y (60,0)

ii) Representación gráfica

La gráfica está formada por tres tramos:

1. Una parábola creciente entre x = 0 y x = 20, desde (0,0) hasta (20,20).
2. Una recta decreciente entre x = 20 y x = 50, desde (20,20) hasta (50,11).
3. Una parábola decreciente entre x = 50 y x = 60, desde (50,11) hasta (60,0).

Puntos clave para representar la función:

x	f(x)
0	0
20	20
50	11
60	0

iii) Área limitada por el eje OX y la gráfica

Como la función es positiva entre 0 y 60, el área es la suma de las áreas bajo cada tramo:

A = ∫₀²⁰ x²/20 dx + ∫₂₀⁵⁰ (26 − 3x/10) dx + ∫₅₀⁶⁰ (36 − x²/100) dx

Primer tramo:

∫₀²⁰ x²/20 dx = [x³/60]₀²⁰ = 8000/60 = 400/3

Segundo tramo:

∫₂₀⁵⁰ (26 − 3x/10) dx = [26x − 3x²/20]₂₀⁵⁰

Valor en 50:

26 · 50 − 3 · 50² / 20 = 1300 − 375 = 925

Valor en 20:

26 · 20 − 3 · 20² / 20 = 520 − 60 = 460

Área del segundo tramo:

925 − 460 = 465

Tercer tramo:

∫₅₀⁶⁰ (36 − x²/100) dx = [36x − x³/300]₅₀⁶⁰

Valor en 60:

36 · 60 − 60³ / 300 = 2160 − 720 = 1440

Valor en 50:

36 · 50 − 50³ / 300 = 1800 − 125000/300 = 1800 − 1250/3 = 4150/3

Área del tercer tramo:

1440 − 4150/3 = 170/3

Área total:

A = 400/3 + 465 + 170/3

A = 570/3 + 465

A = 190 + 465 = 655

Resultado:

Área = 655 unidades cuadradas

Ejercicio 3

Apartado A

a) Media y varianza de la distribución de la media muestral

Población:

{-5, -2, 13, 18, 20}

Se consideran todas las muestras de tamaño 3 sin repetición. Hay 10 muestras posibles.

Muestra	Media
(-5, -2, 13)	2
(-5, -2, 18)	11/3
(-5, -2, 20)	13/3
(-5, 13, 18)	26/3
(-5, 13, 20)	28/3
(-5, 18, 20)	11
(-2, 13, 18)	29/3
(-2, 13, 20)	31/3
(-2, 18, 20)	12
(13, 18, 20)	17

La media de la distribución de la media muestral es:

μ_X̄ = 8,8

La varianza de la distribución de la media muestral es:

σ²_X̄ = 1337/75 ≈ 17,83

b) Probabilidades

Datos:

P(A) = 0,75

P(B^c) = 0,8

Por tanto:

P(B) = 1 − 0,8 = 0,2

Además:

P(A/B) = 0,6

Como:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

Entonces:

0,6 = P(A ∩ B) / 0,2

P(A ∩ B) = 0,12

Ahora calculamos:

P(B − A) = P(B ∩ A^c) = P(B) − P(A ∩ B)

P(B − A) = 0,2 − 0,12 = 0,08

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0,75 + 0,2 − 0,12 = 0,83

P(A^c − B) = P(A^c ∩ B^c)

P(A^c ∩ B^c) = 1 − P(A ∪ B)

P(A^c ∩ B^c) = 1 − 0,83 = 0,17

Resultados:

Probabilidad	Resultado
P(A ∩ B)	0,12
P(B − A)	0,08
P(A ∪ B)	0,83
P(Ac − B)	0,17

Apartado B

Datos:

P(A) = 2P(B)

P(B^c/A) = 0,75

P(A ∩ B) = 0,2

Como:

P(B^c/A) = 0,75

entonces:

P(B/A) = 1 − 0,75 = 0,25

Además:

P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A)

Por tanto:

0,25 = 0,2 / P(A)

P(A) = 0,8

Como P(A) = 2P(B):

0,8 = 2P(B)

P(B) = 0,4

a)

La probabilidad de que ocurra B es:

P(B) = 0,4

b)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0,8 + 0,4 − 0,2 = 1

La probabilidad de que no ocurra ni A ni B es:

P(A^c ∩ B^c) = 1 − P(A ∪ B) = 0

P(A^c ∩ B^c) = 0

Los sucesos A^c y B^c son incompatibles, porque su intersección tiene probabilidad cero.

c.i)

El experimento se repite 1350 veces de forma independiente y la probabilidad de que ocurra B es 0,4.

Por tanto, la variable X sigue una distribución binomial:

X ~ B(1350, 0,4)

c.ii)

Se pide:

P(500 ≤ X ≤ 580)

Como n es grande, aproximamos mediante una normal:

Media:

μ = n · p = 1350 · 0,4 = 540

Desviación típica:

σ = √(n · p · q) = √(1350 · 0,4 · 0,6) = √324 = 18

Aplicamos corrección por continuidad:

P(500 ≤ X ≤ 580) ≈ P(499,5 < X < 580,5)

Tipificamos:

z₁ = (499,5 − 540) / 18 = -2,25

z₂ = (580,5 − 540) / 18 = 2,25

Por tanto:

P(499,5 < X < 580,5) = P(-2,25 < Z < 2,25)

Resultado aproximado:

P ≈ 0,9756

Ejercicio 4

Datos:

Varianza: σ² = 225

Desviación típica: σ = 15

Tamaño muestral: n = 49

Media muestral: x̄ = 325

a) Intervalo de confianza al 97 %

Para un nivel de confianza del 97 %:

α = 0,03

1 − α/2 = 0,985

El valor crítico es:

z_0,985 ≈ 2,17

El intervalo de confianza para la media, con desviación típica conocida, es:

x̄ ± z · σ / √n

Sustituyendo:

325 ± 2,17 · 15 / 7

325 ± 4,65

Resultado:

Intervalo de confianza al 97 %: (320,35 , 329,65)

b)

El valor 310 km no pertenece al intervalo obtenido:

(320,35 , 329,65)

Por tanto, con un nivel de confianza del 97 %, no es razonable considerar que los camiones recorren por término medio 310 km por viaje, ya que ese valor queda fuera del intervalo estimado.

c)

Queremos un intervalo de confianza del 99 % con amplitud inferior a 4 km.

Para el 99 %:

z_0,995 ≈ 2,576

La amplitud total del intervalo es:

2 · z · σ / √n

Se exige:

2 · 2,576 · 15 / √n < 4

Despejamos:

√n > (2 · 2,576 · 15) / 4

√n > 19,32

n > 373,21

Como el número de viajes debe ser entero, se necesita como mínimo:

n = 374 viajes

Nota final

Estas soluciones han sido elaboradas con ayuda de la Inteligencia Artificial y deben entenderse como una propuesta orientativa de resolución.

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